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    不能硬解，那就只能换个思路。

    问题的核心，是信息不足。

    而他手里唯一被忽略的额外信息，就是物理定律本身的约束——Kramers-Kronig关系。

    他意识到，K-K关系在这里不应该被当作一个简单的“变换工具”，而是一个必须被严格遵守的“物理先验”。

    他的最终答案，无论如何都必须满足这个约束。

    那么，解题的思路就从“一步到位的求解”，变成了“戴着镣铐的寻找”。

    也就是，建立一个本身就满足K-K约束的理论模型，然后通过迭代优化的方法，去寻找一组最优的模型参数，让这个模型产生的结果，去无限逼近那份带噪声的实验数据。

    这，才是解决这类反演问题的正道。

    而这整个算法的核心，就是那个在模拟空间里让他碰壁的幽灵——

    希尔伯特变换。

    理论上，希尔伯特变换像一个完美的数学“翻译官”，能将光谱的实部与虚部进行精确互换。

    但这个“翻译官”有个毛病——

    他必须读完从宇宙大爆炸到热寂的所有信息，才能开始工作。

    可现实是，实验数据永远只是一个有限的片段。

    让一个处理无限信号的“翻译官”，去翻译一本残缺不全、只有几百个单词的“书”，结果必然是灾难性的。

    这就是问题的症结所在。

    “说来说去，还是绕不过去这个坎儿啊……”

    想通了这一点，林允宁将那本Rudin的《泛函分析》又拿到了面前，快速翻到关于“希尔伯特空间与算子”的章节。

    他之前在《数学物理方法》里学过希尔伯特变换，但理解停留在“怎么解决物理问题”的层面。

    现在，想要完善反演算法，他需要从更底层的数学结构去理解它“为什么是这样”。

    【检测到前置知识《数学物理方法》，主体知识《泛函分析》已阅读，知识模块【希尔伯特变换】已收录！】

    他立刻进入模拟空间。

    【注入模拟时长：500小时，指定模块：【希尔伯特变换】】

    【模拟开始…】

    【第45小时，你彻底打碎了实空间积分的牢笼，跃迁至频域上帝视角。你洞悉了希尔伯特变换的本质——它并非一种变换，而是一种对所有频率分量进行π/2相位旋转的宇宙法则。认知框架被彻底重构。】

    【知识模块‘希尔伯特变换’等级提升：LV.0 -> LV.1概念认知】

    【第198小时，你掌握了在频域中利用快速傅里叶变换（FFT）实现卷积运算的范式。通过构建一个sgn(ω)的符号函数，你成功绕开了实空间中那个无穷积分的陷阱。】

    【知识模块‘希尔伯特变换’等级提升：LV.1 -> LV.2范式掌握】

    【警告：缺少前置知识模块【复变函数 LV.2】，无法继续模拟提升！】

    【模拟结束。】

    【模拟时长剩余：4199小时30分钟】

    林允宁睁开眼，长出了一口气。

    LV.2，足够支撑他构建一个数值稳定的优化模型了。

    下一秒，他现实中的双手，动了。

    这一次，他敲击键盘的声音不再像之前那般狂风暴雨，而是变得沉稳、精准，富有节奏感。

    他没有从头写起，而是引入了科学计算库SciPy中的优化模块least_squares。

    import numpy as np

    from scipy.fftpack import fft， ifft

    from scipy.optimize import least_squares

    “他好像想明白什么了……”

    刘伟敏锐地捕捉到了这一点，“看他的气质都不一样了，好像胸有成竹似的。”

    大导演并没说错，此时林允宁的思路清晰无比：

    第一步，先对包含噪声的实验数据进行傅里叶变换。

    第二步，利用K-K关系（希尔伯特变换）构建物理响应的复数模型。

    第三步，将理论模型卷积上仪器响应函数。

    第四步，在频域中，将理论结果与实验数据进行比对，计算它们的加权“卡方残差”。
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